中山大學香港高等研究院應用數學研究中心成功舉辦「應用數學與偏微分方程交叉研究」研討會

2026年3月30日下午，「應用數學與偏微分方程交叉研究」研討會在香港成功舉辦。本次研討會由中山大學香港高等研究院應用數學研究中心主辦，粵港澳大灣區跨學科科學學會共同承辦。此次研討會邀請到了澳門大學桂長峰教授、美國佐治亞理工學院潘榮華教授、香港理工大學王治安教授以及香港中文大學、中山大學、深圳大學等大學的專家學者和博士研究生參會。會議由中心主任姚正安教授主持，隨後三位教授應邀分別做了精彩的學術報告，之後與會專家學者展開了熱烈的交流和討論。

桂長峰教授首先做了題為「Hot Spots Conjecture」（熱點猜想）的學術報告。在報告中，桂教授首先進行了背景介紹，在經典熱傳導方程的研究中，觀察到當系統完全絕熱時，最熱區域傾向於向邊界移動。Rauch於1974年提出的熱點猜想（Hot Spots Conjecture）斷言：拉普拉斯算子的第二諾伊曼特徵函數的全局最大值（即最熱點）僅在區域的邊界上取得。值得注意的是，對於三角形區域，Judge與Mondal近期在[Ann. Math., 2022]中證明了其內部不存在臨界點；然而，關於三角形中第二諾伊曼特徵函數的若干重要問題仍有待解決。桂教授接著完整闡述了合作完成的這些問題的解決方案，他們的研究方法運用了若干核心思想，包括通過區域變形建立的連續性論證、各類特徵值問題的特徵值比較，以及最大值原理等。

潘榮華教授隨後做了題為“Rayleigh-Taylor instability and beyond”（雷利-泰勒不穩定性及其他）的學術報告。潘教授首先進行了背景介紹，物理學中已知，在均勻重力作用下，流體的穩態當且僅當對流不存在時才是穩定的。在不可壓縮流體的情形下，當較重的流體位於較輕流體之上時便會產生對流，這一現象被稱為瑞利-泰勒不穩定性（Rayleigh-Taylor instability）。然而，在現實世界中，熱傳遞在流體對流中扮演著重要角色，例如天氣變化或烹飪過程。在此背景下，流體的可壓縮性變得至關重要。事實上，採用更具現實性的可壓縮流動與熱傳遞模型，解的行為與真實世界更為接近，同時也更為複雜。潘教授接著在報告仲介紹並討論這些主題，包括一些正在進行的研究專案和成果。

王治安教授接著做了題為“Boundary spike/layer solutions of chemotaxis models”（趨化性模型的邊界尖峰/層解）的學術報告。在報告中，王教授介紹了在物理邊界條件下（基於某些真實實驗的零通量與狄利克雷混合邊界條件）趨化性模型邊界尖峰或層解方面取得的一些進展；探討了包括邊界尖峰/層解的存在性與穩定性，以及關於小擴散參數的邊界層收斂性等一系列問題。

報告結束後，與會專家學者圍繞應用數學與偏微分方程交叉研究展開了熱烈的研討，為大家進一步合作研究奠定了基礎。大家一致認為，快速變化的技術環境對數學的應用提出了新的挑戰，應用數學與偏微分方程正在成為驅動人工智慧核心突破的引擎學科，兩者的交叉研究迎來了前所未有的新機遇，特別是在演算法優化、模型構建和數據分析等方面，需要我們不斷合作探索和創新。